反常积分的奇偶性

设\(\int _{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) dx\) 收敛,计算方法分为以下两种情况

反常积分收敛性的四则运算

• \(\int _{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) dx=\int _{-\infty }^{0}f\left( x\right) dx+\int _{0}^{+\infty }f\left( x\right) dx\) （拆积分区间）

收敛 \(\pm\) 收敛 \(=\) 收敛

收敛 \(\pm\) 发散 \(=\) 发散

发散 \(\pm\) 发散 \(=\) 发散

• \(\int ^{+\infty }_{a}\left[ f\left( x\right) +g\left( x\right) \right] dx=\int _{a}^{+\infty }f\left( x\right) dx+\int _{a}^{+\infty }g(x)dx\) （拆被积函数）

收敛 \(\pm\) 收敛 \(=\) 收敛

收敛 \(\pm\) 发散 \(=\) 发散

发散 \(\pm\) 发散 \(=\) 不一定

原函数存在定理

即不定积分 \(\int f\left( x\right) dx\) 存在

• 区间 \(I\) 上连续函数必有原函数，并且原函数为 \(\int _{a}^{x}f\left( t\right) dt\)
• 函数在区间 \(I\) 上有第一类或无穷间断点时，必不存在原函数
• 函数有震荡间断点时，不一定存在原函数

原函数的奇偶性与周期性

• 连续奇函数的所有原函数均为偶函数
• 连续偶函数只有一个原函数为奇函数（\(C=0\)）
• 连续的周期函数的所有原函数均为周期函数，充分必要条件为： \(\int _{0}^{T}f\left( x\right) dx=0\)

反常积分重要结论

设 \(F\left( x\right) =\int _{a}^{x}f\left( t\right) dt\)

• \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，则 \(F(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续
• \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(F(x)\) 在 \([a,b]\) 上可导，且 \(F^{’}\left( x\right) =f\left( x\right)\)
• 若 \(x=x_{0}\) 为 \(f(x)\) 的可去间断点，则 \(f(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 处可导，且 \(f'\left( x_{0}\right) \neq f\left( x_{0}\right) =\lim _{x\rightarrow x_{0}}f\left( x\right)\)
• 若 \(x=x_{0}\) 为 \(f(x)\) 的跳跃间断点，则 \(f(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 处不可导