微分算子法
前言
在二阶微分方程中，遇到二阶常系数线性非齐次微分方程时，求其通解方法如下：
- 求其对应齐次方程的通解 Y(x)
- 求该非齐次微分方程的特解 y^{\ast }\left( x\right)
两者相加，即为该二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，即：
y=Y\left( x\right) +y^{\ast }\left( x\right)
其中 Y(x) 好求，背公式就行，这里不再叙述
但是遇到复杂的方程，欲求 y^{\ast }\left( x\right) 能让你直接自闭
因此接下来介绍好用的 微分算子法！
基础知识
首先，引入记号 D ,意思为 D\square =\dfrac{d\square }{dx} （其实就是求导，例如 Dy=\dfrac{dy}{dx} ）
那么 D^{2}\square =\dfrac{d^{2}\square }{dx^{2}}，就是求二阶导数
“ D ”表示求导，那么“ \dfrac{1}{D} ”表示积分
特殊情况1， \left( D+1\right) x^{2}=Dx^{2}+x^{2}=2x+x^{2} ，即拆开后再分开算
特殊情况2， \dfrac{1}{2D}x=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{D}x=\dfrac{1}{4}x^{2} ，即系数可以前提
以上为微分算子基础知识。
基本步骤
一个二阶常系数线性非齐次微分方程为
首先列出其特征方程：
然后把 \lambda 全部换成 D
即刻得出特解结构：
结下介绍四种基本类型的解法。
类型一、二
微分方程右边为f\left( x\right) =e^{kx}
这是最简单的一类，直接把 k 带入 D，即
例1 求微分方程 y^{’’}+3y^{’}-2y=e^{2x} 的特解.
首先写特解结构：
然后代入 k=2 ,直接出答案
注：若带入 k 的时候，分母为零 ，则把分母求导一次，前面加一个 x 即可，其他不变，一直是零一直求导，一直乘 x
例2 求微分方程 y^{’’}-6y^{’}+9y=e^{3x} 的特解.
首先写特解结构：
带入 k=3 时候，发现分母为 0 ，那就对分母求一次导，前面乘一个 x 即：
再带入 k=3 时候，发现分母还是 0 ，对分母接着导，前面接着乘 x 即：
直接出答案
以上为第一类形式的解法，第二类与第一类相似
f(x)=常数 时的解法
这类题目只要进行以下转化即可
然后系数前提，解法与第一类完全一样
类型三
f(x)=sin ax/\cos ax 时的解法
将 D^{2}=- a^{2} 代入,遇到分母为零的情况解法与类型一、二相似
口诀：见 D^{2} 就换 -a^{2} ，剩下的 D 用平方差。
例1 求微分方程 y^{’’}-y^{’}=\sin x 的特解.
首先写特解结构：
将 D^{2}=-1 代入，原式直接出答案：
例2 求微分方程 y^{’’}+4y^{’}=\cos 2x 的特解.
首先写特解结构：
将 D^{2}=-4 代入，发现分母为 0，对分母求一次导，前面乘一个 x 即：
将常数提前，\dfrac{1}{D} 代表对后面式子积分，即：
例3 求微分方程 y^{’’}+3y^{’}-2y=\sin 2x 的特解.
首先写特解结构：
将 D^{2}=-4 代入，即：
分母和分子同时乘以 D+2 ,得到以下式子：
用同样的方法将 D^{2}=-4 代入，即：
对 \sin 2x 求导并得出最终结果：
类型四
[方法]
将 e^{kx} 提到前边，分母 D=D+k 处理如下：
然后用类型一、二、三点方法进行处理
例1 求微分方程 2y^{’’}-3y^{’}+y=e^{-x}\cdot\sin 2x 的特解.
首先写特解结构：
将 e^{-x} 提到前面， D 用 D-1 带入,即：
化简，得：
用类型三的方法进行处理，将 D^{2}=-4 代入，即：
分母和分子同时乘以 2-5D ,得到以下式子：
代入 D^{2}=-4 ,拆开求导：
类型五
x多项式
主要原理采用泰勒展开
将左边的 D 通过 \dfrac{1}{1+x} 和 \dfrac{1}{1-x} 这两个泰勒展开，然后进行计算。
