前言

在二阶微分方程中，遇到二阶常系数线性非齐次微分方程时，求其通解方法如下：

• 求其对应齐次方程的通解 \(Y(x)\)
• 求该非齐次微分方程的特解 \(y^{\ast }\left( x\right)\)

两者相加，即为该二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，即：

\(y=Y\left( x\right) +y^{\ast }\left( x\right)\)

其中 \(Y(x)\) 好求，背公式就行，这里不再叙述

但是遇到复杂的方程，欲求 \(y^{\ast }\left( x\right)\) 能让你直接自闭

因此接下来介绍好用的微分算子法！

基础知识

首先，引入记号 \(D\) ,意思为 \(D\square =\dfrac{d\square }{dx}\) （其实就是求导，例如 \(Dy=\dfrac{dy}{dx}\) ）

那么 \(D^{2}\square =\dfrac{d^{2}\square }{dx^{2}}\)，就是求二阶导数

“ \(D\) ”表示求导，那么“ \(\dfrac{1}{D}\) ”表示积分

特殊情况1， \(\left( D+1\right) x^{2}=Dx^{2}+x^{2}=2x+x^{2}\) ，即拆开后再分开算

特殊情况2， \(\dfrac{1}{2D}x=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{D}x=\dfrac{1}{4}x^{2}\) ，即系数可以前提

以上为微分算子基础知识。

基本步骤

一个二阶常系数线性非齐次微分方程为

\[ y^{’’}+ay^{’}+by=f\left( x\right) \]

首先列出其特征方程：

\[ \lambda ^{2}+a\lambda +b=0 \]

然后把 \(\lambda\) 全部换成 \(D\)

\[ D^{2}+aD+b=0 \]

即刻得出特解结构：

\[ y^{\ast }=\dfrac{1}{D^{2}+aD+b}\cdot f\left( x\right) \]

结下介绍四种基本类型的解法。

类型一、二

这是最简单的一类，直接把 \(k\) 带入 \(D\)，即

\[ y^{\ast }=\dfrac{1}{k^{2}+ak+b}\cdot e^{kx} \]

首先写特解结构： \[ y^{\ast }=\dfrac{1}{D^{2}+3D-2}\cdot e^{2x} \]

然后代入 \(k=2\) ,直接出答案

\[ y^{\ast }=\dfrac{1}{8}e^{2x} \]

注：若带入 \(k\) 的时候，分母为零 ，则把分母求导一次，前面加一个 \(x\) 即可，其他不变，一直是零一直求导，一直乘 \(x\)

首先写特解结构： \[ y^{\ast }=\dfrac{1}{D^{2}-6D+9}\cdot e^{3x} \]

带入 \(k=3\) 时候，发现分母为 \(0\) ，那就对分母求一次导，前面乘一个 \(x\) 即：

\[ y^{\ast }=x\cdot \dfrac{1}{2D-6}\cdot e^{3x} \]

再带入 \(k=3\) 时候，发现分母还是 \(0\) ，对分母接着导，前面接着乘 \(x\) 即：

\[ y^{\ast}=x^{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot e^{3x} \] 直接出答案

以上为第一类形式的解法，第二类与第一类相似

这类题目只要进行以下转化即可 \[ f\left( x\right) =k\rightarrow f\left( x\right) =k\cdot e^{0x} \]

然后系数前提，解法与第一类完全一样

类型三

将 \(D^{2}=- a^{2}\) 代入,遇到分母为零的情况解法与类型一、二相似

口诀：见 \(D^{2}\) 就换 \(-a^{2}\) ，剩下的 \(D\) 用平方差。

首先写特解结构： \[ y^{\ast }=\dfrac{1}{D^{2}-1}\cdot \sin x \]

将 \(D^{2}=-1\) 代入，原式直接出答案：

\[ \dfrac{1}{-1-1}\sin x=-\dfrac{1}{2}\sin x \]

首先写特解结构：

\[ y^{\ast }=\dfrac{1}{D^{2}+4}\cdot \cos 2x \]

将 \(D^{2}=-4\) 代入，发现分母为 \(0\)，对分母求一次导，前面乘一个 \(x\) 即：

\[ y^{\ast }=x\cdot\dfrac{1}{2D}\cdot \cos 2x \]

将常数提前，\(\dfrac{1}{D}\) 代表对后面式子积分，即：

\[ y^{\ast }=x\cdot\dfrac{1}{2D}\cdot \cos 2x=\dfrac{1}{2}x\cdot \dfrac{1}{D}\cdot \cos 2x=\dfrac{1}{2}\cdot \sin 2x\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}x\cdot \sin 2x \]

首先写特解结构：

\[ y^{\ast }=\dfrac{1}{D^{2}+3D-2}\cdot \sin 2x \]

将 \(D^{2}=-4\) 代入，即：

\[ y^{\ast }=\dfrac{1}{-4-2+3D}\cdot \sin 2x=\dfrac{1}{-6+3D}\cdot \sin 2x=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{D-2}\cdot \sin 2x \]

分母和分子同时乘以 \(D+2\) ,得到以下式子：

\[ \dfrac{1}{3}.\dfrac{D+2}{D^{2}-4}-\sin 2x \]

用同样的方法将 \(D^{2}=-4\) 代入，即：

\[ -\dfrac{1}{24}\left( D+2\right) \cdot \sin 2x=-\dfrac{1}{24}\left( D\cdot \sin 2x+2\sin 2x\right) \]

对 \(\sin 2x\) 求导并得出最终结果：

\[ \dfrac{1}{12}\left( \cos 2x+\sin 2x\right) \]

类型四

[方法] 将 \(e^{kx}\) 提到前边，分母 \(D=D+k\) 处理如下：

\[ y^{\ast }=\dfrac{1}{F\left( D\right) }f\left( x\right) \] \[ =\dfrac{1}{F\left( D\right) }\left[ e^{kx}\cdot \varphi \left( x\right) \right] \] \[ =e^{kx}\cdot \dfrac{1}{F\left( D+k\right) }\cdot \varphi \left( x\right) \]

然后用类型一、二、三点方法进行处理

首先写特解结构：

\[ y^{\ast }=\dfrac{1}{2D^{2}-3D+1}\cdot e^{-x} \sin 2x \]

将 \(e^{-x}\) 提到前面， \(D\) 用 \(D-1\) 带入,即：

\[ e^{-x}\cdot \dfrac{1}{2\left( D-1\right) ^{2}-3\left( D-1\right) +1}\cdot \sin 2x \] 化简，得：

\[ e^{-x}\dfrac{1}{2D^{2}-5D+6}\sin 2x \]

用类型三的方法进行处理，将 \(D^{2}=-4\) 代入，即：

\[ -e^{-x}\dfrac{1}{2+5D}\sin 2x \]

分母和分子同时乘以 \(2-5D\) ,得到以下式子：

\[ -e^{-x}\dfrac{2-5D}{4-25D^{2}}\sin 2x \]

代入 \(D^{2}=-4\) ,拆开求导：

\[ -e^{-x}\dfrac{1}{104}\left( 2-5D\right) \sin ^{2}x=\dfrac{e^{-x}}{104}\left( 5\cos 2x-2\sin 2x\right) \]

类型五

主要原理采用泰勒展开 将左边的 \(D\) 通过 \(\dfrac{1}{1+x}\) 和 \(\dfrac{1}{1-x}\) 这两个泰勒展开，然后进行计算。